【基礎数学】集合への30講
前置き
「集合と位相に親しむ」を読んでいたところ、選択公理のあたりの記述が薄くてよく分からなかったので積読してあったこちらの本を手にとった。
概要
人類(主にカントール)が「無限」に対する認識をどう深めてきたのか、を説明しようとしている、といったところ。
前半は基数としての 無限論(アレフ・ゼロだとかアレフだとか)、後半は序数としての無限論(整列可能定理だとか選択公理だとか連続体仮説だとか)を解説している。
前半は大体読めたが、後半は整列可能定理のあたり(23講あたり)でモチベーションのつながりが見えなくなって証明が追えなくなった。
連続体濃度を持つ集合について整列可能定理が成り立つというのは、イメージが湧かない...
詳細
以下、目次
1. 身近なところにある集合
2. 自然数の集合
3. 集合に関する基本概念
4. 有限集合の間の演算，個数の計算
5. 可算集合
6. 可算集合の和集合と直積集合
7. 数直線上の可算集合
8. 実数の構造――小数展開
9. ２進法，３進法
10. 実数の集合
11. 一般的な設定へ
12. 写像
13. 直積集合と写像の集合
14. 濃度
15. 濃度の大小
16. 連続体の濃度をもつ集合
17. 連続体の濃度をもつ集合(つづき)
18. ベキ集合の濃度
19. 可算集合を並べる
20. 順序集合
21. 整列集合
22. 整列集合の性質
23. 整列集合の基本定理
24. 順序数
25. 比較可能定理，整列可能定理
26. 整列可能定理と選択公理
27. 選択公理のヴァリエーション
28. 選択公理からの帰結
29. 連続体仮設
30. ゲオルグ・カントル
